1
(In k— In ft)2 2
Поскольку d(\nk)=dk/k, из (11.28) имеем
ln* (In k-ln ft)2
-L^e~ 2o2 d(lnfe).
Отсюда аналогично (П.17) получим
(11.28)
(11.29)
(11.30)
Математическое ожидание проницаемости при логарифмически нормальном законе распределения получим по формуле (НЛО). При этом
53
0,6rf(/<) Рис. 35. График плотности
гамма-распределения при а=2, ?=0,8 мкм2
/7,2
0 0,5 у х-)МКМг
3. Гамм а-р аспределение. Плотность гамма-распределения абсолютной проницаемости в общем виде выражается следующим образом:
При этом
'х xa~l dx, ос > 0, х > 0.
Плотность гамма-распределения представлена на рис. 35. Формула закона распределения проницаемости имеет вид
k , —
Г ba'~~' p-ft/fe rib
F(k)=\ в-,, . (И.32)
о
Как и во всех случаях
i-i / ч 1 к с ••'" ик | 6 * X (IX Г (00)=
Г (а)
о ч о
Математическое ожидание проницаемости при гамма-распределении определяется следующим образом:
xae~xkdx
г(а) --
4. Закон распределения М а к с в е л л а. При расчетах данных процесса разработки нефтяных месторождений используют формулу закона распределения Максвелла, полученную им для описания распределения молекул газа по скорости. Форма записи формулы этого закона была изменена М. М. Сат-таровым и Б. Т. Баишевым с целью описания распределения проницаемости реальных пластов. Так, формула плотности распределения проницаемости согласно закону Максвелла, видоиз-
54
fw
о,в -
-02
0,5
1,0
A.MKM
Рис. 36. График плотности распределения по Максвеллу, видоизмененный М. М. Саттаровым при &0 = 0,8 мкм2, а=0,1 мкм2
мененная М. М. Саттаровым, выражается таким образом:
' - ----- _ k+a
уг" ^~^~е
(11.33)
где a, k0 — параметры распределения, определяемые на основе обработки данных о геолого-физических свойствах пластов. Формула плотности распределения проницаемости, по Б. Т. Баи-шеву, имеет вид
(?+а)2 1
-. /—
УЯ
Ь 2 Kl
(11.34)
где a, k\ — параметры распределения.
На рис. 36 показан график f(k), построенный по формуле (11.33). Как видно, закон допускает существование нереальных значений отрицательной проницаемости. Однако, как и в случае нормального закона, можно считать, что проницаемость изменяется в пределах О^й^оо, но следует учитывать, что в пласте есть некоторая, отличная от нуля, доля слоев с нулевой проницаемостью.
§ 5. МОДЕЛЬ ОДНОРОДНОГО ПЛАСТА С МОДИФИЦИРОВАННЫМИ ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ПРОНИЦАЕМОСТЯМИ
Строение нефтяного пласта может быть таким, что некоторые его слои не простираются на большие расстояния, сравнимые с расстояниями между скважинами, а выклиниваются, замещаясь слоями с иной проницаемостью. Длины отдельных слоев могут быть порядка толщины всего пласта. При этом слои не всегда изолированы друг от друга. Пласты такого типа нельзя представлять описанной моделью слоисто-неоднородного пласта. Они более похожи на однородные пласты. Тем не менее их слоистая неоднородность прослеживается при обработ-
55
ке данных лабораторных исследований извлекаемых из недр образцов пород-коллекторов и при интерпретации данных промыслово-геофизичес-ких исследований скважин.
Пласты описанного типа можно моделировать однородным пластом с осредненной абсолютной проницаемостью и модифицированными относительными проницаемостями для насыщающих их веществ. Чтобы построить такую модель, выделим элементарный объем прямолинейного пласта длиной Ах, толщиной h и шириной b (рис. 37). Будем считать, что в пределах каждого его элементарного объема имеется такой набор слоев с различной абсолютной проницаемостью, частота появления которых описывается формулой определенного вероятностно-статистического закона.
Построим модель пласта с модифицированными относительными проницаемостями, полагая, что извлече-
ние из него нефти происходит путем вытеснения ее водой. Можно рассматривать и другие процессы извлечения нефти.
Сложим мысленно отдельные слои пласта в «штабель» таким образом, чтобы слой с самой большой проницаемостью был расположен внизу, а с самой низкой — вверху (см. рис. 37), и абсолютная проницаемость возрастала сверху вниз. Примем, что вода мгновенно поршневым способом вытесняет нефть из i-ro пропластка. Таким образом, в некоторый момент времени в об-воднившихся слоях толщиной h будет фильтроваться только вода, а в слоях толщиной h — h — только нефть. В обводнившихся слоях остается нефть при остаточной нефтенасыщенности SH ОСт-В начальный момент времени слои пласта были насыщены нефтью и связанной водой с насыщенностью SCB. Можно также считать, что SH ост и SCB зависят от абсолютной проницаемости слоев. Расход воды Д^в, поступающей в слои толщиной Aft элемента пласта, определим по формуле
д _ k (1 — 5Н ост — SQB
Рис 37. Схема элементарного объема пласта, выделяемого при определении модифицированных относительных проницаемостей:
/ — выклинивающиеся слои, 2 — прерывающиеся слои, 3 — слои, соединяющиеся с другими ело ями
Здесь фазовая проницаемость для воды &фв = &(1 — SHOCT— SCB)J. Если бы в слоях толщиной Ал содержалась только вода, то рас->од воды AqB выражался бы следующим образом:
56
Полный расход воды, закачиваемой во все обводнившиеся слои толщиной h, составит А"
f k (1 ~S" ост — SCB) dft.
0
Если бы весь пласт был насыщен только водой, то
Обозначим модифицированную относительную проницаемость для воды через ka и определим ее как отношение
J k(\ — SHO
Используя вероятностно-статистическое распределение абсолютной проницаемости, характерное для данного пласта, и считая, что k = k± — проницаемость обводнившегося в данный момент слоя, имеем
I-SHOCT — SCB)kf(k)dk
, (И.35)
\kf(k)dk s
где f(k) — плотность вероятностно-статистического распределения абсолютной проницаемости.
На основе аналогичных рассуждений получим следующее выражение модифицированной относительной проницаемости для нефти &н. Имеем
А.
| kf(k)dk
^ = 4 - (П-36)
Модифицированные относительные проницаемости для нефти и воды должны зависеть от модифицированной водонасыщенно-•сти s. В рассматриваемый момент времени вода в элементе пласта содержится в виде связанной воды в необводнившихся
57
слоях и в виде закачанной в элемент воды. \О_бъем связанной воды АУсв в элементе пласта можно выразить следующим образом: )
\
»'
sCBdh = mkxbh \scj(k)dk. V
i/
Т Объем воды в обводнившихся слоях составит
= mbhbx (1 — SH ост) / (k) dk.
tj
Полный объем воды в элементе пласта
ft.
.
= mbhbx |j SCB/ (fe) dfe+ J (1 -SH OCT) / (k) dk\ --=
Поровый объем пласта n = mb/iAx. Модифицированная водонасыщенность составит
k. (11.37)
О ft.
V/
Если известны f(k) и зависимость от абсолютной проницаемо-
сти SH ост и SCB) то, задаваясь и*, можно определить s, ks и &н.
При рассмотрении описанной модели пласта с модифицированными проницаемостями была принята наиболее простая гипотеза о том, что фазовая проницаемость для воды в каждом из слоев пропорциональна произведению абсолютной проницаемости на водонасыщенность пласта. При этом считается, что связанная вода занимает тупиковые поры, по которым не фильтруется вода. Можно в принципе считать, что нефть из каждого слоя вытесняется не мгновенно, а постепенно, при постоянной по длине слоя, но изменяющейся во времени водонасыщенно-сти. Таким образом, при построении такой модели можно учитывать одновременно и физические относительные проницаемости образцов пород, и неоднородность по абсолютной проницаемости в элементе пласта.
Рассмотренная модель пласта с модифицированными проницаемостями построена с учетом неоднородности пласта, в данном случае слоистого, и механизма вытеснения нефти водой из каждого слоя, в описанном случае — поршневого.
58
Однако! модифицированными проницаемостями часто называют также относительные проницаемости, полученные в результате сопоставления расчетных и фактических данных о процессе заводнения нефтяных пластов, т. е. решения так называемых обратных задач разработки нефтяных месторождений. Тогда модифицированные проницаемости могут зависеть не только от неоднородности разрабатываемых пластов, но и косвенно от системы разработки месторождения, особенностей эксплуатации скважин и других факторов.
§ 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗРАБОТКИ
Научно обоснованное применение каждого нового процесса разработки нефтяных месторождений начинают с его экспериментального изучения в лабораторных условиях. Все существующие процессы извлечения нефти и газа из недр вначале были изучены при лабораторных исследованиях. В свое время прошло эту стадию и такое широко развитое на практике воздействие на нефтяные пласты, как заводнение. За стадией лабораторного исследования следуют первые промышленные испытания процессов. В этот период развития технологических процессов становится весьма необходимым их количественная формулировка, т. е. создание моделей.
Центральный этап моделирования — постановка соответствующих процессу разработки нефтяного месторождения математических задач, включающих дифференциальные уравнения, начальные и граничные условия. Процедуры расчетов на основе моделей называют методиками расчетов.
Дифференциальные уравнения, описывающие процессы разработки нефтяных месторождений, основаны на использовании двух фундаментальных законов природы — закона сохранения вещества и закона сохранения энергии, а также на целом ряде физических, физико-химических, химических законов и специальных законах фильтрации.
Дифференциальные уравнения будут рассмотрены при изложении соответствующих технологий извлечения нефти и газа из недр. Здесь рассмотрим вопросы использования только фундаментальных законов, а также законов фильтрации, применяемых в той или иной степени во время моделирования всех процессов разработки нефтяных месторождений.
Закон сохранения вещества в моделях процессов разработки месторождений записывают либо в виде дифференциального уравнения неразрывности массы вещества, именуемого часто просто уравнением неразрывности, либо в виде формул, выражающих материальный баланс веществ в пласте в целом. В последнем случае закон сохранения вещества используют непосредственно для расчета данных процессов разработки месторождений, а соответствующий ему метод расчета получил название метод а материального баланса.
59
Рис. 38 Схема элементарного объема прямолинейного пласта
Рис 39. Схема элементарного объема пласта в трехмерном случае
Выведем вначале уравнение неразрывности массы вещества при его одномерном прямолинейном движении в пласте. Масса AM вещества плотностью р в элементе пласта (рис. 38) длиной Дл:, толщиной h и шириной Ь, измеряемой в направлении, перпендикулярном к плоскости при пористости пласта т, составит
ДМ = р/яЛЬДх. (11.38)
Если считать, что в элемент пласта через его левую грань поступает вещество с массовой скоростью pvx, вытесняется из
элемента с массовой скоростью и pvx-\--?^- Дл;, а накопленный
объем его 6ДМ за время Д/, получим с учетом того, что в элемент вошло больше вещества, чем из него вышло:
ЬЬАхЫ = 6ДМ = Д (р/п) bhkx.
Из (11.39) имеем
дх
[
(рт) _
При
дх
Д/
+0
d(pm) dt
= 0.
(11.39)
(11.40)
(11.41)
Уравнение (11.41) и есть уравнение неразрывности массы вещества в пласте при одномерном прямолинейном движении насыщающего его вещества. Чтобы получить такое уравнение для трехмерного случая, необходимо рассмотреть баланс массы в объемном элементе пласта ДУ=ДлгДг/Дг (рис. 39). Рассматривая массовые скорости поступления вещества в куб и вытеснения из него, а также накопленный объем его в кубе, получим
дх
| ~l
dj
- + -
дг
dt
= 0.
(11.42)
60
Уравнение (11.42) можно записать также в следующем общем виде:
div(p,) + ^ = 0. - , (11.43)
Уравнения (11.42), (11.43) —уравнения неразрывности массы вещества во время его движения при трехмерном измерении. Если в пласте одновременно движутся несколько веществ, находящихся как в газовой, так и в жидкой фазе, составляют уравнения неразрывности массы каждого вещества (компонента) в соответствующих фазах.
Закон сохранения энергии используют в моделях разработки нефтяных месторождений в виде дифференциального уравнения сохранения энергии движущихся в пластах веществ. Полная энергия единицы массы пласта Ел состоит из отнесенных к единице массы внутренней удельной энергии пород пласта и насыщающих его веществ ип, удельной потенциальной z и кинетической энергии веществ, движущихся в пласте со скоростью w. Поэтому
(П. 44)
Из закона сохранения энергии или, точнее, из первого начала термодинамики следует, что изменение энергии пласта А?п и произведенной удельной работы 6W равно количеству подведенного к пласту тепла 6QT, умноженного на механический эквивалент тепла А, т. е.
Д?П+6№ = Л6(?Т (11.45)
или с учетом (11.44)
Дадим количественную оценку входящих в (11.46) величин. Удельная внутренняя энергия пласта ып при отсутствии в нем химических или ядерных превращений вещества представляет собой тепловую энергию в единице массы пласта, так что
(11.47)
где с — удельная теплоемкость пласта; Т — температура. Положим, что пористый пласт насыщен водой. Тогда с = ст(1 — tn)-}~ +свт (с? — удельная теплоемкость пород пласта; св — удельная теплоемкость воды, m — пористость). Пусть ст= 1,046 кДж/(кг-•К), св = 4,184 кДж/(кг-К), ДГ=1 К, т = 0,2. Тогда с=1,046-(1 — — 0,2)+4,184-0,2=1,67 кДж/(кг-К), Дып=Ю2- 1,67- 1 = 170 м. Удельная потенциальная энергия z в пластах может изменяться в соответствии с возможными изменениями уровня движущихся в пласте веществ. Обычно это десятки и иногда сотни метров.
Оценим возможные изменения удельной кинетической энергии. Скорость w движения в пласте насыщающих его веществ
61
изменяется в значительных пределах — от 0 до 10 м/сут = = 3650 м/год = 1,16- 10~4 м/с. Сравнивая удельные потенциальную и кинетическую энергии пласта с его удельной внутренней энергией, необходимо учитывать, что выше вычислялась удельная внутренняя энергия пласта в целом, т. е. пород и насыщающих их веществ. Удельная потенциальная и удельная кинетическая энергия относятся только к насыщающим пласт веществам. Поэтому, с целью указанного сравнения, необходимо ввести ко-
эффициент е= — miPB"/i_m) '. гДе РТ — плотность горных пород;
РВ — плотность насыщающих пласт веществ, и умножать все виды удельной энергии, кроме внутренней, на в. При рв = 103кг/м3, рт = 2,25-103 кг/м3 т = 0,2, 8 = 0,1.
Тогда для изменения удельной кинетической энергии получим
Из приведенной оценки следует, что удельной кинетической энергией движущихся в пласте веществ можно всегда, кроме особых случаев движения веществ в призабойной зоне скважин, пренебречь.
Если изменение удельной потенциальной энергии движущегося в пласте вещества составляет даже 100 м, то при умножении этой величины на е получим 10 м. Изменение же температуры пласта всего на один градус равнозначно изменению удельной внутренней энергии почти на 200 м. Если разработка пласта ведется с использованием тепловых методов, то температура пласта может изменяться на сотни градусов и его удельная внутренняя энергия станет преобладающей среди других видов энергии. Оценим возможную величину работы, которую могут производить насыщающие пласт вещества. Удельную работу 6W, производимую насыщающим пласт веществом и отнесенную к единице массы вещества, определим следующим образом:
Ш = рШ/(рёЬУ), (11.48)
где р — давление; AV — объем вещества, насыщающего пласт в элементарном объеме пласта; р — плотность этого вещества; g — ускорение свободного падения.
Поровый объем пласта остается, вообще говоря, неизменным, поскольку не изменяются геометрия пласта и его пористость. Работа вещества в пласте связана всегда с его расширением. Поэтому в (11.48) и введена величина 6AV, характеризующая расширение вещества. При этом условно можно считать, что вещество, насыщающее пласт, расширяясь, как бы выходит за пределы элементарного объема пласта. Будем считать, что при бесконечно малом расширении вещества в элементарном объеме пласта масса вещества AM = pAV остается неизменной.
62
Тогда дАМ = 6pAF-f-p6AF=0 и, следовательно,
— Sp/p. (И.49)
Подставляя (11.49) и (11.48) получим
Оценим возможную работу вещества, насыщающего пласт. Очевидно, что наибольшую работу может производить в пласте газ. Для простоты оценки будем считать газ идеальным, для которого р/р = ро/ро, где ро, ро — давление и плотность газа при начальных условиях Отсюда для идеального газа
g§H7 = _ _ЭД>_ J>?- (Ц 51)
Пусть при снижении давления 8р = — 10- 105 Па, р = = 100-Ю5 Па, р0=105 Па, р0=1 кг/м3, е = 0,1. Тогда
0,1 105 Ю 1Q8
19,81 100105
Сделанная оценка показывает, что работа вещества, насыщающего пласт, хотя и намного меньше, чем изменение удельной внутренней энергии при тепловых методах разработки нефтяных месторождений, все же при определенных условиях, как это показывает опыт, может быть значительной.
Рассмотрим вопрос о том, чему равняется входящая в (11.45) и (11.46) величина 6QT. Тепловыделение в элементе пласта может происходить за счет экзотермических химических реакций и гидравлического трения и за счет теплопроводности. Уход тепла из элемента пласта за счет теплопроводности в дальнейшем будем учитывать при изменении внутренней энергии пласта ип. Перенос тепла из пласта в кровлю и подошву будем учитывать соответствующими граничными условиями и поэтому в балансе энергии элементарного объема пласта его не будем принимать во внимание. Энергия движущегося в пористой среде вещества за счет гидравлического трения превращается в тепло Для мощности гидравлического трения, отнесенной к единице массы движущегося вещества в элементе пласта, имеем следующее выражение:
A/V 1 , иу2 ,1Т ГГ1.
-гггтт— = - v grad p= ^ (11.52)
pgAVn mpg ь ^ mpgk ^ '
Допустим, что в пласте движется газ вязкостью [i = = 0,02-10-3 Па -с со скоростью t>=10-6 м/с « 86,4 • 10^3 м/сут. Проницаемость пласта /г«0,12 мкм, пористость т=0,2, плотность газа р при давлении р=100 МПа составляет 100 кг/м3. Тогда
0.02 10- 10-» 0 0_6 0,2 10-13-981 ~ 1>UZ X ' •
63
В сутки из килограмма движущегося в пласте газа будет выделяться 1,02- 10~6- 0,864 • 1 05 = 0,088 м энергии. Это, конечно, незначительная величина. Однако, например, в призабойной зоне скважин скорость фильтрации того же газа может достигать 10~4 м/с, а иногда и более. Тогда при тех же остальных условиях, что и выше, значение \^v2/(mpgk) « 10~2 м/с. В сутки из килограмма фильтрующегося в пласте газа выделится энергии почти 9 кДж. Таким образом, можно заключить, что наиболее существенное изменение энергии в элементе пласта связано с переносом тепла за счет теплопроводности и конвекции. Определенный вклад в энергетический баланс пласта, особенно при высоких скоростях движения насыщающих его веществ, вносят работа расширения-сжатия веществ и гидравлическое трение.
Напишем уравнение сохранения энергии в пласте, учитывая теплопроводность и конвекцию, а также работу расширения-сжатия веществ и гидравлическое трение.
В соответствии с (11.48) и (11.49) работу движущегося вещества в элементарном объеме пласта в целом можно представить в следующем виде:
Работу W можно приравнять к энергии сжатия Ер, поэтому
Р2
= —тЬЕ„ = т Г -^- , (11.54)
PI
где pi и р2 — плотности.
Рассматривая, как и при выводе уравнения неразрывности массы фильтрующегося в пласте вещества, поток внутренней энергии и=срТ и энергии сжатия Ер, а также считая, что тепло поступает в элементарный объем только за счет гидравлического трения, т. е. что AdQT = vgrad p, получим
i'gradp. (11.55)
Здесь VE — вектор суммарной скорости теплопереноса в пласте за счет теплопроводности и конвекции, и — вектор скорости фильтрации. Выражение (11.55) и есть дифференциальное уравнение сохранения энергии в пласте, выведенное при указанных выше предположениях.
Рассмотрим законы фильтрации. Основным законом подземной гидромеханики является закон фильтрации однородной жидкости или газа — закон Даре и. Все известные законы фильтрации базируются на этом основном законе.
При фильтрации неоднородной жидкости или смесей жидкости и газа справедлив закон двухфазной фильтрации. В слу-
«4
чае, например, совместной фильтрации нефти и воды формула закона фильтрации для прямолинейного движения записывается в следующем виде:
kkH
дрн
ц„ дх
kks (s) дря цв дх
(11.56)
0,8
0,6
0,2
где ун — вектор скорости фильтрации нефти; УВ — вектор фильтрации воды, kH(s), kB(s)—относитель-
L
0,2 Oft 0,6 0,8
ные проницаемости соответственно рис. 40. Графики зависимости для нефти и воды, зависящие от ka и й„ от s водонасыщенности s; рн и ръ — давления в нефти и воде. Графики относительных проницаемостей для нефти и воды имеют вид, показанный на рис. 40, на котором по оси абсцисс отмечены две характерные точки: SCB и s*. В точке S = SCB относительная проницаемость для воды равна нулю, так что &B(SCB)=O. В точке s = s* относительная проницаемость для нефти &H(s*)=0, несмотря на то что в точке s = = SCB в пласте присутствует вода, а в точке s = s* имеется нефть. Однако при S = SCB вода, содержащаяся в пористой среде пласта, диспергирована, раздроблена или, если это связанная вода, занимает преимущественно углы между зернами породы, тупиковые поры и т. д. Нефть, имеющаяся в пласте при s = s*, также диспергирована, занимает в пористой среде тупиковые места и вытесняться из пласта не может. Аналогичные зависимости можно построить и для двухфазной фильтрации жидкости и газа. Одновременная фильтрация нефти, воды и газа изучена в меньшей степени, чем совместная фильтрация двух из этих веществ. При расчетах процессов разработки нефтяных месторождений, в которых возникает одновременная фильтрация нефти, воды и газа (трехфазная фильтрация), можно пользоваться следующим приемом. Вначале берут относительные проницаемости при двухфазной фильтрации жидкости (нефти и воды) и газа, для которой известны зависимости относительных проницаемостей для газа и жидкости kr(sr) и Ьж(зж) от насыщенности пористой среды газом sr и жидкостью зж. Поскольку
— SB~1~SH>
(11.57)
где SB, SH — соответственно насыщенности пласта водой и нефтью, можно написать следующие выражения:
5 Ю П Желтое
(11.58)
65
Затем учитывают уже относительные проницаемости для нефти kH(s) и воды kv(s), определяя s из (11.58). Таким образом формула закона совместной фильтрации газа, нефти и воды (многофазной фильтрации) принимает следующий вид: i
kkr(sr) dpv _ №ж (sx) kK (s)
j.ir дх >
kk-к (SK) ?B (5) dps
B jiB dx • \ • r
Здесь рт, pa, ps — давления в газе, нефти и воде. Во многих случаях на движение в пласте веществ оказывает существенное влияние гравитационное поле Земли — сила тяжести. Влияние этой силы на разработку месторождений необходимо учитывать при движении в пласте разнородных веществ, значительно отличающихся по плотности (например, нефти и газа); большом наклоне или значительной толщине пластов; разработке нефтяных залежей, подстилаемых водой; образовании водонефтя-ных и газонефтяных конусов и т. д. Поскольку сила тяжести имеет вертикальное направление, она не влияет на горизонтальные компоненты скорости фильтрации, а воздействует только на вертикальную компоненту. При двухфазной фильтрации газа и нефти с учетом гравитации используют следующие выражения для вертикальных компонент скорости фильтрации нефти и газа:
kkrtsT
(П.60>
где Др = рн — pr; p — давление, принимаемое одинаковым в газовой и нефтяной фазах.
Во всех рассмотренных случаях скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления, т. е. она линейно зависит от градиента давления. Известны также нелинейные зависимости скорости фильтрации от градиента давления. Соответствующие законы фильтрации называют нелинейными законами фильтрации. Нелинейность законов фильтрации обычно связывают с тремя причинами: с проявлением инерционных сил при повышенных скоростях фильтрации, с деформацией горных пород и, как следствие, с нелинейным изменением проницаемости пород пласта от давления, а также с неньютоновскими свойствами движущихся в пласте веществ. При этом нелинейная связь скорости фильтрации и градиента давления свойственна только нелинейным законам, обусловленным действием инерционных сил и проявлением неньютоновских свойств насыщающих пласт веществ. Нелинейность закона фильтрации, вызванная деформацией горных пород, есть скорее проявление нелинейной зависимости проницаемости пород от
66
давления. Рассмотрим вначале нелинейность закона фильтрации, связанную с проявлением инерционных сил. Экспериментально было обнаружено, что даже во время фильтрации однородной жидкости при повышенных числах Рейнольдса N-RS— = udnp/[i (v — абсолютная скорость фильтрации; р, [д. — соответственно плотность и вязкость фильтрующего вещества; dn — характерный «внутренний» линейный размер пористой среды, например, средний диаметр пор) наблюдается отклонение от закона Дарси. Критические числа Рейнольдса для пористой среды, при которых происходит нарушение закона Дарси, составляют от 7,5 до 9,0 по Н. Н. Павловскому, от 0,22 до 0,29 до М. Д. Миллионщикову и от 1 до 12 по В. Н. Щелкачеву. Эти критические числа Рейнольдса различны вследствие того, что указанными авторами принималось различное значение dn. Эксперименты показывают, что при числах Рейнольдса, больших, чем критические, градиент давления пропорционален квадрату скорости фильтрации. При числах же Рейнольдса, меньших критических, когда справедлив закон Дарси, градиент давления линейно зависит от скорости фильтрации. Естественно, возникла мысль объединить закон Дарси и закон квадратичной зависимости градиента давления от скорости фильтрации. Этот объединенный закон получил название двучленного закона фильтрации, формула которого имеет следующий вид:
k . „ до
---у+аи2 = ~-
ц ' дх '
где а — коэффициент, определяемый экспериментальным путем. Квадратичная зависимость скорости фильтрации от градиента давления практически может наблюдаться только при фильтрации газа в призабойных зонах или при фильтрации нефти в породах с чисто трещинной пористостью.
§ 7. СВОЙСТВА ГОРНЫХ ПОРОД, ПЛАСТОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Свойства как горных пород, так и пластовых жидкостей и газов определяют прежде всего путем исследования глубинных образцов пород-кернов, отобранных из пластов во время бурения скважин, а также жидкостей и газов, поднятых с забоев скважин. Однако эти свойства можно определить и путем обработки данных о физических, физико-химических, гидродинамических и механических процессах, происходящих в пластах при их разработке, а также при геофизических, гидродинамических и других исследованиях. При расчетах процессов разработки нефтяных месторождений требуются не только те свойства горных пород, жидкостей и газов, которыми они обладали в начальном состоянии пласта, но и какими они могут обладать в изменившихся условиях при осуществлении
5* 67
зора напряжений в эле ментарном объеме гор ных пород
методов извлечения углеводородов из недр. Поэтому свойства горных пород, жидкостей и газов познаются не путем проведения простых «определительских» работ, а в результате исследований.
Горные породы, залегающие в зем-бх ной коре, и в том числе породы, слагающие нефтегазоносные пласты, находятся в напряженном состоянии. |Если в толще горных пород мысленно выделить элементарный объем в виде куба (рис.
Рис. 41. Компоненты тен- 41) с гранями dx, dy, dz, то напряженное состояние такого элементарного объема пород будет характеризоваться тензором напряжений с шестью компонентами ах, ау, az, tyz, гха,
txz (вх, ву и ог — нормальные, a txy, Туг, Тяг — касательные компоненты напряжения). Если ось г направлена по вертикали, а х и у — по горизонтали, то нормальное напряжение а2 = рг характеризует горное по вертикали или геостатическое давление. Компоненты ах и ау отражают так называемое боковое горное давление /?оо. При равномерном распределении бокового горного давления ах = ау = роо. Считается, что при сравнительно пологом залегании пластов вертикальное горное давление
РГ = ЧН. (11.61)
Здесь Y — удельный вес вышележащих горных пород, н/м3; Я — глубина залегания пласта. Для бокового горного давления
рп = арт, (11.62)
где а — коэффициент бокового горного давления. Этот коэффициент может изменяться в широких пределах (чаще всего O^cc^l), но может и превышать единицу при наличии сильных тектонических напряжений, действующих в боковом направлении. Рассмотренное напряженное состояние свойственно непористым и непроницаемым породам. В нефтегазоносных пластах напряженное состояние горных пород будет несколько более сложным. Дело в том, что нефтегазоносные пласты пористые, насыщенные жидкостями или газами, ограничены сверху и снизу непроницаемыми породами. В пласте существует, помимо напряжений в горных породах, внутрипоровое давление р, создаваемое жидкостью или газом. Напряженное состояние характеризуется средним нормальным напряжением 0, которое определяют по формуле
(11.63)
Между вертикальным горным давлением рг, средним нормаль-68
Рис. 42. Зависимость пористости от Рис 43 Зависимость проницаемости среднего нормального напряжения от среднего нормального напряжения
ным напряжением а и внутрипоровым давлением р существует
связь
р,=<т+р. (11-64)
,' Экспериментально доказано, что такие важнейшие свойства горных пород-коллекторов нефти и газа, как пористость т и абсолютная проницаемость k, зависят от среднего нормального напряжения, причем эти зависимости при широком диапазоне изменения а нелинейны. На рис. 42 показана зависимость пористости т от а, а на рис. 43 — проницаемости k от а. Как видно из этих рисунков, с увеличением о значительно уменьшаются как пористость, так и проницаемость. При этом принимаем, что если сг=сто, то т=т0, k=k0(m0, ka — соответственно начальные значения пористости и проницаемости). Из рис. 42 и 43 следует, что пористость и проницаемость вначале резко уменьшаются с увеличением 0, а затем их уменьшение замедляется. Такое существенно / нелинейное изменение т и k происходит у горных пород при Аа=0о—о, исчисляемых обычно несколькими десятками мегапаскалей. Во многих же внутрипластовых процессах изменение среднего нормального напряжения составляет единицы мегапаскалей, например вдали от призабойных зон скважин при упругом режиме. В других же случаях, например 'при ^сильных воздействиях на призабойную зону скважин, напряжения действительно могут изменяться в широком диапазоне и тогда необходимо учитывать нелинейный характер зависимости пористости и проницаемости от среднего нормального напряжения.
В случаях больших глубин (свыше 4000 м) и аномально высоких пластовых давлений (р~рг) могут начать проявляться существенным образом свойства пластичности, вязкоупру-гости или иных реологических свойств горных пород. Режим пласта в условиях проявления неупругих свойств горных пород можно назвать реологическим режимом.
Различают нелинейно упругие и неупругие свойства горных пород. В первом случае происходит обратимость деформации, во втором горные породы «текут» или существующие в них
69
напряжения изменяются с течением времени, релаксируют, так что при возвращении к прежнему напряженному или деформированному состоянию деформация пород или напряжения не будут прежними. Зависимость пористости от среднего нормального напряжения в случае линейной упругости горных пород имеет вид
m-m0[l —pc(a-00)], (II.65)
где то — пористость при а=Оо; |3с — сжимаемость пород пласта; его — начальное среднее нормальное напряжение.
В случае нелинейной упругости зависимость пористости от среднего нормального напряжения представляют следующим образом:
т = т0е~^(а~°о). (11.66)
При реологических режимах пористость зависит, кроме среднего нормального напряжения а, еще и от времени t. Например, если горные породы являются реологическим телом Максвелла, т. е. вязкоупругим телом, зависимость пористости пород от а и t можно представить в виде
dm о da , о /Т1 С7^
-ЗГ = -$°»-2Г + -?-, (H.67)
где РСМ и |ям— соответственно «максвелловские» сжимаемость и вязкость пород. Похожи на указанные, но, может быть, еще более значительны, зависимости абсолютной проницаемости горных пород от среднего нормального напряжения и времени.
Рассмотрим свойства пластовых жидкостей и газов. Пластовые нефть и газ — сложные смеси веществ, главным образом углеводородов. Важную роль в процессах разработки нефтяных месторождений играет вода, содержащаяся в пористых средах пластов. При осуществлении методов повышения нефтеотдачи в пласты закачивают весьма разнообразные вещества, которые не содержались ранее в пластах: двуокись углерода, кислород, азот и др. При добыче из нефтяного месторождения нефти и газа фазовое состояние насыщающих пласт углеводородов изменяется — из нефти выделяется газ. Изменение пластового давления и пластовой температуры также приводит к изменению фазового состояния веществ, насыщающих пласт. При разработке месторождений необходимо знать это фазовое состояние с тем, чтобы количественно прогнозировать отбор нефти, газа и воды из месторождения и управлять процессом его разработки.
При расчете фазового состояния веществ, насыщающих пласт, нефть представляют как смесь ограниченного количества условных компонентов, объединяющих некоторые группы индивидуальных веществ. Наиболее простой и распространенный способ такого представления нефти заключается в разделении ее на два условных компонента: «нефть» и «газ».
70
При этом с практически оправданной точностью считают, что в изотермических условиях (Т = const) газ как условный компонент растворяется в условной нефти по закону Генри, т. е.
= ар, ' (П.68)
где VSP — объем растворенного газа в некоторый момент времени, VHo — объем дегазированной нефти; а — коэффициент пропорциональности; р — давление.
Если начальное содержание пластовых углеводородов таково, что на объем дегазированной нефти Уно приходится ограниченный объем VTpo растворенного в ней газа, то при некотором давлении рнас весь газ будет растворен в нефти. Это давление называют давлением насыщения.
Таким образом
. (Н.69)
Задача расчета фазового состояния пластовых веществ существенно усложняется в неизотермических условиях и при закачке в пласт неуглеводородных веществ. Конечно, фазовое состояние любой многокомпонентной системы можно определить экспериментальным путем в лабораторных условиях. Однако в процессах извлечения нефти из недр состав пластовых веществ, давление и температура могут изменяться не только в пласте в целом, но и от точки к точке. Практически невозможно экспериментально изучить все условия, которые могут сложиться в пластах, и поэтому необходимо уметь рассчитывать фазовые состояния, опираясь на отдельные, «базовые» эксперименты.
Рассмотрим общие методические основы расчета фазового состояния многокомпонентного вещества, насыщающего нефтяной пласт в неизотермических условиях. В большинстве случаев в пористых средах разрабатываемых пластов находятся две фазы — жидкая и паровая (газовая). При определенных условиях в поровом пространстве может появиться и твердая фаза — обычно парафин и неорганические соли. Ниже будем рассматривать только двухфазное (жидкость и пар) состояние веществ, насыщающих пласт. При этом начнем с отдельного, индивидуального вещества. Состояние вещества (газообразное, жидкое или одновременно и то и другое) определяют с помощью диаграммы давление — температура (рТ-диаграмма) для данного вещества. На рис. 44 показана такая диаграмма для воды, из которой видно, что в области, находящейся над кривой 1, называемой линией насыщения, вода находится в жидкой, а под ней — в паровой фазе. Точка 2 на кривой 1 называется критической. Ей соответствуют критическое давление ркр и критическая температура ТКр. Справа от вертикальной линии, проходящей на диаграмме через критическую точку, вещество находится в закритическом состоянии. Если давление и температура соответствуют давлению и тем-
71
п,МПа
<Й7-
Рис. 44. Диаграмма давление — температура для воды:
/ — область жидкого состояния; 2 — линия насыщения; 3 — критическая точка; 4 — область пара
500
Рис. 45. Диаграмма давление — тем-600 Т,К пература для смеси этана с деканом
250
350
пературе на линии насыщения, то вещество находится одновременно и в жидкой и в паровой фазах.
Если в некотором фиксированном объеме V находится смесь, состоящая из двух индивидуальных веществ, то /?Г-диаграмма имеет вид, показанный на рис. 45, где схематично изображена рГ-диаграмма для системы этан — декан. Кривая 1 — линия насыщения для чистого зтана, а точка 2 — его критическая точка. Кривая 6 — линия насыщения чистого декана, а точка 5 — его критическая точка. Верхняя огибающая кривая 3 соединяет линию псевдокритических давлений для системы этан — декан при различных содержаниях этих компонентов. Точка, например, 1' соответствует большему содержанию этана в системе, чем точка 2', а точка 2' — большему содержанию этана, чем точка 3'. Пунктирные линии 4 — псевдолинии насыщения для системы этан — декан также при различных содержаниях этих компонентов. С помощью этих линий можно заменить двухкомпонентную смесь некоторым одним гипотетическим компонентом, имеющим одинаковые с двух-компонентной смесью критические давление и температуру.
72
Псевдолинии насыщения и псевдокритические давление и температура разделяют области существования жидкой и паровой фаз для двухкомпонентной смеси таким же образом, что и для одного индивидуального компонента.
Для полного расчета давления, насыщенности объема фазами, содержания компонентов в фазах при заданном общем составе компонентов в объеме и заданной температуре недостаточно использовать только рГ-диаграмму. Необходимо знать также экспериментально определяемые коэффициенты распределения компонентов в фазах. Эти коэффициенты в теории фазовых равновесий известны под названием «константы равновесия», хотя они по существу для реальных веществ не являются константами. Константой К1Р равновесия i-ro компонента в смеси из п компонентов называется отношение
где г/, и Xi — молярные доли i-ro компонента соответственно в паровой и жидкой фазах. В псевдокритической точке различие между паром и жидкостью исчезает. Поэтому /Ср(рпкр, Тпкр) = = 1, где Рпкр, Тик? — псевдокритические давления и температуры. Из рГ-диаграммы для бинарной смеси (см. рис. 45) видно, что псевдокритические давления и температуры зависят от общего состава смеси и температуры Т. Константы равновесия, т. е. коэффициенты распределения компонентов в паровой и жидкой фазах, зависят от отношения давления к псевдокритическому давлению и отношения температуры к псевдокритической температуре, так что
Рп кр ' 'и кр
В случае многокомпонентной смеси псевдокритическое давление РПКР называют также давлением схождения. Будем считать, что рассматриваемая смесь веществ состоит из углеводородов, для каждого из которых известны коэффициенты распределения компонентов в паровой и жидкой фазах /Ср. Составим уравнения фазовых концентраций. Пусть N — масса всех компонентов в некотором объеме V, Nr — масса всех компонентов в паровой фазе (в газе) и Л^ж — масса всех компонентов в жидкости. Тогда
Если разделить левую и правую части выражения (11.72) на сумму молекулярных масс всех компонентов, содержащихся в объеме V, то получим выражение
Пм = Имг+ПМж. (П-73)
где пы — число молей компонентов в объеме; ямг и пмж — число молей соответственно в газе и жидкости.
73
Для молярных долей компонентов в газе у, и жидкости имеем выражения
• мг м,
Молярную долю 1-го компонента в объеме в целом можно 'Определить следующим образом:
Nj Nt
"'--- - <"-75>
Из приведенных выражений получим
г/Лг+*Лж- (П.76)
Учитывая, что yt = K,pX,, а также обозначая пыж/п = Х, из (11.76) имеем
Полученные уравнения (11.77) называются уравнениями фазовых концентраций.
При определении фазового состояния можно решать различные задачи. Если, например, заданы \„ р, Т и Y, то Kt и у, определяют непосредственно из (11.77) Если заданы v,, p и Т и следует найти У и X, то с учетом того, что 2л:, = 1 из (11.77)
(11.78)
Значение Y устанавливают решением системы уравнений (11.77) методом итераций
В том же случае, когда заданы только v, и Г, а нужно определить xt, yt, У и р, то к уравнениям (11.77) необходимо добавить еще уравнение газового состояния. Для углеводородных компонентов при давлениях и температурах, близких к нормальным, в качестве уравнения газового состояния можно использовать уравнения Редлиха — Квонга, Пенга — Робинсона и другие, а при высоких температурах — уравнение состояния идеального газа. В общем случае уравнение газового состояния может быть записано в виде
F(p,V,T) = 0. (II.79)
Система уравнений (11.77) — (11.79) позволяет определить давление р и составы газовой и жидкой фаз. В виду нелинейности уравнений их решение обычно получают также методом итераций.
74
В тех случаях, когда в пористой среде пластов присутствуют неуглеводородные вещества, следует учитывать константы равновесия этих веществ с углеводородами. При отсутствии таковых можно для приближенных расчетов пользоваться представлением о смеси веществ в газовой фазе как о некотором идеальном газе, а также считать, что в жидкой фазе углеводородные компоненты не растворяются в неуглеводородных. Решив основную задачу нахождения х,, г/,, У и р, можно по приведенным формулам определить массу ?ж< каждого компонента в жидкой фазе. Для того чтобы найти насыщенность s жидкой фазы рассматриваемого объема V, следует использовать значения кажущихся плотностей каждого из компонентов. Кажущейся плотностью р,к называется плотность "компонента, когда он растворен в жидкой фазе. Имеем
(11.80)
Р!К ' '
Плотности веществ изменяются с давлением и температурой. Значения плотностей и характер их изменения с давлением и температурой можно найти в специальной литературе.
Важным для разработки нефтяных и газовых месторождений свойством пластовых жидкостей и газов является их в я з-кость, влияющая, согласно закону Дарси, на темпы извлечения из пласта насыщающих его веществ. Если нефть представляется как смесь индивидуальных углеводородов, имеющих вязкости ц,, то для вязкости нефти (iH имеем формулу
Здесь Я — произведение вязкостей i'-го компонента в степени С,. Допустим, что нефть может быть представлена как смесь из трех условных компонентов — легкого, имеющего вязкость Hi и молярную концентрацию Сь среднего (основного) с вязкостью ц,2 и молярной концентрацией в смеси С2 и тяжелого, обладающего вязкостью ц3 и молярной концентрацией в смеси Cip. При этом
С1+Са+С,= 1. (11.82)
Из формулы (11.81) с учетом (11.82) получим
2ИзСз = h.'-'i-'V'lV* = h (-?-)* (-МС3. (11.83)
"
Вязкость углеводородных компонентов, составляющих нефть, как и вязкость нефти, уменьшается с ростом температуры, причем тем резче, чем больше их начальная вязкость. Вязкость газов также изменяется с температурой и давлением, хотя и не столь значительно, как вязкость нефти.
75
Наконец, необходимо указать, что не только горные породы, но и сама нефть может обладать реологическими свойствами, отличающими ее от ньютоновской жидкости. Например, она может характеризоваться предельным напряжением сдвига. Если при фильтрации ньютоновской жидкости справедлив закон Дарси, то фильтрация нефти, обладающей предельным ^напряжением сдвига, характеризуется законом, предложенным А. X. Мирзаджанзаде. Формула этого закона имеет вид
^- ц «--,- -Ы. (П.84)
где go — начальный градиент давления. Чтобы началась фильтрация жидкости по формуле (11.84), должно быть соблюдено условие grad p>go.
Ввиду важности для разработки нефтяных месторождений расчетов фазового состояния пластовых жидкостей и газов рассмотрим пример.
Пример II.2. Допустим, что в некотором замкнутом объеме V содержится NI килограммов углеводородного компонента 1, т. е. газа, и /V2 килограммов компонента 2, т. е. нефти, при стандартных условиях T'=7'o=const. Будем приближенно считать газ идеальным. Растворимость газа в нефти подчиняется закону Генри. Заранее известно, что содержание углеводородов в объеме V таково, что их смесь находится в двухфазном состоянии, причем содержание второго компонента в газе мало и его можно считать равным нулю. Требуется определить давление р в замкнутом объеме V и его насыщенность s жидкой фазой.
Для жидкой фазы из (II 80) имеем следующее уравнение:
sy = Ja- + A-) (II 85)
PlK ?2К
где Z-i — масса первого компонента в жидкой фазе; р,к — его кажущаяся плотность; Lz=N2 — масса второго компонента в жидкой фазе, где он и находится. Масса растворенного в нефти газа
где poi — плотность газа при стандартных условиях Кроме того,
где р2к — кажущаяся плотность нефти или плотность дегазированной нефти Таким образом, из формулы закона Генри (II 68) получим
(IL86)
По условию газ считается идеальным, а условия являются изотермическими. Тогда для плотности газа рг имеем выражение
Рг = PoiP/Po .
где рг, — стандартное давление (принимаем рй=\(Р Па). Из приведенного выражения имеем для массы газовой фазы GI
(,1.87)
76
Согласно балансу газа e1 + L1 = N1.
Подставляя в это выражение (II 85), (II 86) и (П87), получим квадратное уравнение
~
Р2кР0
Определим параметры рассмотренного фазового состояния Пусть V=l м3, #, = 25 кг, JV2=500 кг, а=0^-10-5 м3/(м3 Па), piK = 0,2 10' кг/м3, р2к= =0,8- 103 кг/м3, poi = 0,S кг/м3. Подставляя эти цифры в уравнение (II 88), получим а=1,6-10~13, Ь=0,7-10~5, с=25 (размерности опускаем) Решая квадратное уравнение и опуская один из его корней, не удовлетворяющий исходным уравнениям, имеем
О, у. Ю-5— (0,33 Ю-")1/3 Р = - 3,2 Vis - = 39 '°5 Па'
Далее получим s=0,7 L=I5 кг, 0=10 кг Таким образом, задача решент Рассмотрим в общем виде другой метод решения этой же задачи, но без
предположения о расстворимости газа в нефти по закону Генри Для этого
используем коэффициенты распределения компонентов (константы равнове-
сия)
Будем, как и выше, для простоты считать, что второй компонент не
переходит в газ, т е что 02=0 В этом сл>чае в соответствии с формулой
(II 71) имеем
"71 •> т ра кр 1
икр
Считая газ идеальным и используя приведенные соотношения, приходим к системе алгебраических уравнений
G,p0
- (IL89)
Систему (II 89) необходимо решать методом итераций, получив предварительно зависимость К\Р от р/рп кР, Г/Г„ кр путем аппроксимации экспериментальных данных, а также определив по р7"-диагра\ше Д1Я двухкомпонентной смеси давление схождения рп кр и соответствующую ему температуру Ти ьр
Можно вместо формулы закона идеачьього газа использовать иные уравнения газового состояния, учитывающие реальные свойства газа Метод расчета фазового состояния с испочьзованием констант равновесия дает возможность лучше учесть фазовое взаимодействие реальных углеводородов, но он влечет за собой более сложные вычисления
§ 8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ РАСЧЕТАХ РАЗРАБОТКИ
Модель разработки нефтяного месторождения обычно представляется математически в виде системы, состоящей из алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений или
77
соотношений. Для того, чтобы провести расчет на основе уже созданной модели разработки месторождения, необходимо сначала решить соответствующие математические задачи. Только получив решение этих задач можно осуществлять сам расчет в цифрах.
В настоящем параграфе дается на ряде примеров описание основных математических методов, применяемых при решении задач разработки нефтяных месторождений.
Методы получения точных решений задач математической физики
Многие задачи разработки нефтяных и газовых месторождений сводятся к решению классических уравнений математической физики. В ряде случаев можно получать решения задач математической физики, в точности удовлетворяющие исходным уравнениям, начальным и граничным условиям. Такие решения называются точными.' К числу методов, дающих точные решения задач разработки нефтяных месторождений, относится хорошо известный из курса математики метод разделения переменных (метод Фурье), методы функций комплексного переменного, интегральных преобразований, получения автомодельных решений и др.
Методы функций комплексного переменного являются классическими методами решения задач установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в плоских пластах. Рассмотрим эти методы при установившемся притоке жидкости к источникам (скважинам).
1. Уравнение неразрывности массы жидкости, фильтрующейся в плоском пласте, имеет, исходя из (11.42) > следующий вид:
^+^=о.7 ; (п.90)
Подставляя в это уравнение формулу закон'а Дарси
•.--?•?-•' *--?•?• <1Ш>
получим уравнение Лапласа
Введем потенциал фильтрации в виде V &р/ц.
В этом случае вместо уравнения (11.92) получим
78
Введем комплексный потенциал
Входящая в выражение (11.94) функция •$=•$ (х, у) — функция линий тока. В теории плоского потенциала доказывается, что комплексный потенциал F(z) и функция линий тока удовлетворяют условиям Коши — Римана j
дФ dty дФ dty > ,
дх ду ' бу дх
(11.95)
Таким образом, любая аналитическая функция комплексного переменного z — x-\-iy описывает некоторое плоское течение в пласте. Пусть, например,
^ (11.96)
Полагая z = re'e, (Q = arcigy/x) из (11.96) получим
отсюда '
Ф = -н^т-1пг; ' гр = -^т- arctg -^- • "'
2лЛ Y 2я/г ь л; ' **•
' (11.98)
г = (*2+У2)'/2; Р =
Из приведенных формул следует, что комплексный потенциал по формуле (11.96) выражает решение задачи установившейся фильтрации жидкости в неограниченном плоском пласте к единственному точечному источнику. Как видно из (II 98), давление при г = 0 стремится k — оо, а при г — >-оо оно также неограниченно возрастает. Тем не менее можно приближенно использовать это решение и для расчета распределения давления в плоском пласте с несколькими источниками конечного радиуса (скважинами), используя то обстоятельство, что уравнение Лапласа (II 90) линейно и сумма нескольких решений вида (II 98) есть тоже решение уравнения (II 90).
Допустим, что в неограниченном плоском пласте (рис. 46) по оси х располагается бесконечная цепочка источников (скважин). Каждая из скважин находится на расстоянии 2а от соседней. Для того чтобы найти решение задачи о течении жидкости в пласте, достаточно рассмотреть течение жидкости только в одной полосе шириной 2ст, расположенной по обе стороны от оси у.
Получить формулу притока жидкости к одному источнику можно было бы путем суммирования бесконечного числа решений типа (11.98) для источников, расположенных на рас-
79
Рис. 46. Схема бесконечной цепочки скважин в плоском пласте:
/ — скважины, 2 — полоса шириной 2о
—*• X
стояниях 20n (n = \, 2, 3...) от рассматриваемого источника, находящегося в начале координат. Однако более компактно это можно сделать, применив конформное преобразование полосы, расположенной в плоскости z = x-\-iy (см. рис. 46), в неограниченную плоскость комплексного переменного ? = |-Нт1-Такое конформное преобразование дает функция
Если обозначить Zi=nzja, то sin гг — sin (хг -f- i z/x) = sin хг cos t г/х -|- cos л:х sin h = sin л;г ch r/x -f- i cos % sh г/х;
1--; ch«/1&—g-
у1==л;{//сг. Таким образом, в плоскости ?=;
(11.100)
имеем
(11.101)
При конформном преобразовании, осуществляемом функцией (11.99), любой точке полосы — сг^дг^а соответствует определенная точка плоскости ?.
Рассмотрим комплексный потенциал F(t,) в плоскости ?, описывающей течение к источнику в этой плоскости. В таком случае
(0=-
(11.102)
Можно с достаточным приближением считать, что вместо точечного источника в плоскости ? существует скважина ра-
80
диусом рс, где потенциал равен Фс. Тогда примем, что на расстоянии рк от центра скважины потенциал равен Фк. Для дебита скважины в плоскости ? можно написать формулу Дюпюи
2яЯ(Фк-Фс)
Ч 1п(рк/рс) V
Перейдем снова к плоскости z. При больших значениях у течение в полосе — 0^х^о будет параллельным оси у. Для этой оси из (11.101) имеем
р « S/IJ11//CT.
Поэтому, согласно рис. 46, можно положить
nL
, nL 1 о Рк » sft— ~ -y e
Из этого выражения соответственно получим — In 2.
При значительных расстояниях по оси у имеем nz^>a. Тогда можно положить
In рк
При незначительных яг//а
лу _ пу
а о
е — е ^^ лу ___ ягс
~
» Следовательно,
1прс = 1п(лгс/ст).
Подставляя приведенные значения 1прк и 1прс в формулу (11.104), получим
PC) 2nkh(pK—pc) _ 2akh(pK—p<.)
Ц(1прк— In рс) /я/.
По формуле (11.104) можно определить дебит одной скважины из бесконечной цепочки скважин, расположенных в неограниченном пласте, при условии, что на некотором, достаточно большом расстоянии L от оси х давление равно рк, а в скважинах малого радиуса гс оно составляет рс-
'2. 'Рассмотрим решение одной из основных задач теории теплопроводности, весьма необходимое при расчетах тепловых методов разработки нефтяных месторождений. Пусть имеем полубесконечный стержень площадью сечения S, полностью теплоизолированный от окружающей среды. Начальная
6 Ю. П Желтов 81
Рис 47 Схема распространения температуры за счет теплопроводности в полубесконечном стержне
/ — полубесконечный стержень пло щадью сечения S 2 — распределение температуры в стержне в момент времени t
температура при ^ = 0 во всем стержне была равна Го, а при />0 на границе стержня я = 0 (рис. 47) она стала равной Ti, оставаясь при /—мх> равной То. Требуется определить распределение температуры по координате х в различные моменты времени t. Будем исходить из уравнения сохранения энергии, рассматривая теплоперенос в стержне только за счет теплопроводности. Для скорости теплопере-носа о? за счет теплопроводности имеем следующее уравнение:
dvr , дТ п ,гт < г\г\
"йГ+ср~дГ = 0- (И.105)
Здесь с — удельная теплоемкость вещества в стержне; р — • плотность вещества.
Скорость переноса тепла VT за счет теплопроводности можно определить по формуле закона Фурье
дТ (11.106)
v, = —Ат
дх
где Ят — коэффициент теплопроводности Подставляя (11.106) ъ (11.105), получим
X*
дх*
дТ
:~дГ>
(11.107)
Уравнение (11.107) есть уравнение теплопроводности при прямолинейном распространении тепла, а входящий в него коэффициент хт называется коэффициентом температуропроводности. В соответствии с условиями задачи
Т = Тй при х>0, t = Q; ^>0, A:— >oo,
(11.108; Г = Гг при х = 0, *>0.
Рассмотрим функцию f(x, t), определяемую следующим об-
разом:
Тогда начальное и граничное условия (11.108) запишутся следующим образом:
/ = 0 при х> 0, t = Q; />0, х — >• оо,
(11.110) f=l при x = Q, t>0.
функция f(x, t), очевидно, также удовлетворяет уравнению теплопроводности (II 107), как и Т (х, t), т.е.
d*f df •
Для получения решения рассматриваемой задачи применим преобразование Лапласа, для чего умножим левую и правую части (11.111) на e~si (s — некоторый параметр) и проинтегрируем эти части в пределах от нуля до бесконечности. В результате получим
00
-е^- '" ' (Т1Л12)
Будем считать преобразованием Лапласа функции f(x, /), функцию F(x, s), причем
со
F(x,s)=ff(x,t)erstdt. (II.113)
ij
о
Учитывая независимость переменных х и t, функцию f(x,t) можно дифференцировать под знаком интеграла. Из (11.113) имеем, помня, что s — некоторый параметр,
оо
d*F l <Э2/ ,, ,, ,тт . , .,
'*
После интегрирования правой части выражения (II 112) получим
ОО 00
-е-"Л= — f(x, f)e-"-f s ^f(x,f)tr«dt = sF(x,s). (И. 11 5) о о b
Первый член в выражении (11.115) равен нулю, так как при верхнем пределе он равен нулю в результате стремления к нулю экспоненты, а при нижнем пределе вследствие того, что 1(х, 0)=0 по условию задачи
После подстановки (11.115) в (11.112)
xT-gl-SjF = 0. - (11.116)
Решение обыкновенного уравнения (11.116) имеет вид
(11.117)
Для установления постоянной интегрирования С выполним граничное условие (11.110) Однако найдем прежде всего, че-
6* 83
му равно F(0, s). Из граничного условия (11.110)
оо оо
F(0,s) = Г/(0,Ое~^= \e-s'dt = —. J' J s
О О
Тогда
•, /"Т
--- X
кт
Функцию f(x, t) по ее изображению F(x, s) найдем по таблицам оригиналов функций и их изображений по Лапласу. Имеем
2 V-At
Получим, наконец, выражение для скорости переноса тепла на границе д:=0. Из приведенного решения с учетом (11.106) находим _. i л дТ . . гг, df
(11.121)
Поток тепла 3. Рассмотрим приток жидкости (нефти) с постоянным дебитом q к точечному стоку, расположенному в однородном бесконечно простирающемся плоском пласте толщиной ft при упругом режиме. Сток находится в центре координат, и течение к нему в пласте радиальное. В начальный момент времени ? = 0, пластовое давление постоянно и составляет рк-При ?>0 из точечного стока отбирается из пласта нефть с дебитом q = const, а пластовое давление остается равным рк только при г — ^оо. Требуется определить распределение давления в пласте в любой момент времени.
Уравнение неразрывности массы фильтрующегося в пласте вещества имеет в рассматриваемом случае следующий вид:
дг
34
=0 - (П123)
^ '
Учитывая закон Дарси и сжимаемость пласта (сжимаемость пород пласта и насыщающей их жидкости) из (11.123) получим уравнение упругого режима в следующем виде:
k I д*Р , 1 ДР \ о др -JT ( дг* ~г г дг ) ~~ V dt '
(11.124)
где PC и |3ж — сжимаемость соответственно пород пласта и насыщающей пласт жидкости. Остальные обозначения такие же, что и принятые выше в формуле закона Дарси. Введем функцию f (r, t) следующим образом:
/= "- (Н.125)
и подставим ее в уравнение (II. 124). В результате получим
/ а»/ , 1 df\ df *(-д^+- аГ] = 1Г- (ПЛ26)
Здесь х — пьезопроводность пласта. Поскольку сток точечный (г — >-0), то для него имеем следующее граничное условие:
2nkh
Следовательно, граничное и начальное условия будут
Известно, что рассматриваемое решение задачи зависит от одной переменной |=г/Уи/. В таких случаях считают, что решение автомодельное, т. е. подобное самому себе. Поэтому /=/(?). Имеем
Подставляя эти значения производных в основное уравнение (11.126), получим
и' + -- = 0, « = /'|. (Ц.129)
Из (11.127) имеем следующие условия: = 0 при | - > оо;
(11.130)
85
Решение уравнения (11.129) получим просто. При выполнении условий (11.130), опуская промежуточные выкладки, получим
e~zdz
|2
Т'
(11.131)
\41осле подстановки (11.131) в (11.125) окончательно имеем
Функция
/ ,2 \
— ?п — т"!/
положительна при
но
при г—Я) она неограниченно возрастает. Приближенно эту функцию можно использовать для расчета распределения давления при упругом режиме и в случае притока жидкости к источникам малого, но конечного радиуса (г=Гс), т. е. к сква-
/ г2 \ жинам. Значения функции —Ei l-r-j-} можно найти
с помощью соответствующих таблиц.
4. Пусть имеем прямолинейный однородный пласт толщиной h и шириной Ь, ограниченный двумя галереями (рис. 48), одна из которых находится в вертикальном сечении х = 0, а другая— в сечении пласта х=1. В начальный момент времени (7 = 0) давление во всем пласте было постоянным, равным р0. Это же давление поддерживается постоянным на галерее x = f
при ^>0. В момент времени ^ = 0 \ из пласта (с галереи х = 0) начи-
нают отбирать нефть с постоянным дебитом q. Пласт разрабатывается при упругом режиме. Требуется определить распределение давления в описанном ограниченном пласте при />0. Приступая к решению этой задачи, прежде всего отметим, что перераспределение давления в пласте будет описываться тем же по существу уравнением упругого режима, что и в предыдущей задаче, только в рассматриваемом случае оно будет иметь следующий, более простой вид:
Рис. 48, График перераспределения давления в прямолинейном пласте длиной / при упругом режиме:
/ — пласт; 2 — неустановившееся распределение давления; 3 — установившееся распределение давления
к -^V = -
dt
(11.133)
86
Для удобства решения задачи введем безразмерные координаты следующим образом:
Б = х//, т = х^//2.- (11.134)
Подставляя (11.134) в (11.133), получим
д*р/д? = др/дт;. • (11.135)
В соответствии с условиями задачи начальные и граничные условия для уравнения (11.135) имеют вид
(11.136)
dp _ q\il
~дЦ _Q ~~kbh'
Из постановки задачи следует, что при t—*оо распределение давления в пласте будет стремиться к установившемуся
р0_р = -М_(1_6). (11.137)
При ? = 0 из (11.137) q\il/(kbh)=p0—рь В связи с приведенным замечанием удобно искать решение задачи в следующем виде:
Ро-Р (6, -0 = (Po-Pi) О -S)-(Po-Pi) / (?, т). (11.138)
При этом
(11.139)
л*
- = 0.
При решении этой задачи применим метод Фурье, согласно которому
/(6,т) = ф(т)Ч>(|). (11.140)
Подставляя (11.140) в (11.138) и затем в исходное уравнение (11.135), получим
Ф'-ф = 1|з"ф. , (11.141)
Из (11.141) следует
-^- = -^ = с = const. ' (II.142)
Решая уравнения (11.142) и выполняя начальны^ я граничные условия, приходим к следующему решению задачи:
Д>—Р (S,iO = (PO—PI) (1-Е) —
^ _ (Ч2п+1)2 Л2
__ 8(Ро —Pi)
87
При этом было использовано известное разложение в ряд Фурье:
По формуле (11.143) можно определить время формирования установившегося распределения давления в пласте между двумя галереями (рядами скважин), одна из которых нагнетательная, а другая — добывающая.
Приближенные методы
Из приближенных методов расчета в теории разработки нефтяных месторождений наиболее распространены метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений Ю. П. Борисова и метод интегральных соотношений Г. И. Баренблатта. Первый из указанных методов используют при расчете установившихся течений жидкостей в плоских пластах со скважинами, а второй — в расчетах перераспределения давления жидкости при упругом режиме, неустановившегося движения газа и реже — задач диффузии, теплопроводности и конвекции. Метод интегральных соотношений хорошо разработан только для решения одномерных задач.
Рассмотрим вначале метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений. Справедливость этого метода покажем на примере конкретного решения о притоке жидкости к бесконечной цепочке скважин. Так, перепишем формулу (11.104) следующим образом:
*-*-'('+^Ц-А+^)- ' СМ*,
Первый член выражения, стоящего в скобках (11.144), характеризует фильтрационное сопротивление при движении жидкости в полосе шириной 20 на расстоянии от 0 до L, а второй член — фильтрационное сопротивление при радиальном движении жидкости от кругового контура гк = сг/я до окружности радиуса гс. Ю. П. Борисов назвал фильтрационное сопротивление
Рф = тг77Г внешним, а рфс = ц1п ~~/ (2nkh)—внутренним и
* &Cfnfi «Tt'*c /
предположил, что и в более сложных случаях установившихся плоских фильтрационных течений фактические фильтрационные сопротивления можно разделить на эквивалентные внешние и внутренние.
Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений позволяет рассчитывать с достаточной для практики точностью
Рис. 49. Схема распределения давления в элементе однорядной системы разработки:
/ — нагнетательные скважины; 2 — добывающие скважины; 3 — элемент однорядной системы разработки, 4 — эпюра пластового давления в сечении АА'
дебиты и давления в пластах при л различных системах разработки.
Рассмотрим однорядную систему разработки со схемой расположения скважин, показанной на рис. 49. При этом происходит д поршневое вытеснение нефти водой из пласта толщиной h. Вязкость нефти в пластовых условиях составляет |я:1, а вязкость воды (хв. Абсолютная проницаемость пласта k, а относительные проницаемости для нефти и воды, являющиеся постоянными согласно модели поршневого вытеснения нефти водой, равны соответственно kn и kB, радиус добывающей скважины гс, радиус нагнетательной скважины /•нс. Вода в процессе вытеснения нефти в момент времени t — t\ дошла до расстояния а/я от нагнетательной скважины (см. рис. 49). При этом расстояния между добывающими и нагнетательными скважинами равны. Дебит одной добывающей скважины, равный расходу одной нагнетательной скважины, постоянен и составляет q. Требуется определить перепад давления между нагнетательной и добывающей скважинами.
Рассмотрим течение в одном элементе пласта, выделенном штриховкой на рис. 49, шириной b = 2a. Обозначим давление на расстоянии от нагнетательной скважины, равном гк=а/п, через Р'Н. В соответствии с условием задачи и формулой Дю-пюи
(Рн —Рн')
Ив In
Согласно методу эквивалентных фильтрационных сопротивлений течение в рассматриваемом элементе складывается из трех: радиального (течение воды) от нагнетательной скважины радиусом гнс до контура радиусом а/я, прямолинейного (течение нефти) от галереи л: = 0, где давление р'к, до галереи х = 1, где давление рс', и радиального (течение нефти) —от контура радиусом о/л, где давление также равно р'с, до добывающей скважины радиусом гс. Учитывая, что ввиду симметрии прямолинейное течение происходит с расходом q/2 (вправо и влево от нагнетательной скважины уходит жидкость с расхо-
89
дом q/2), получим
q 2akkHh(pH'— pc') ^
~2 ~~ HH'
Наконец, для дебита добывающей скважины имеем формулу
(Рс'—Рс)
Перепишем приведенные выше выражения относительно перепадов давлений в виде
Сложим эти выражения. В результате получим требующийся ответ
Рассмотрим ту же задачу, что и в п. 2 (см. стр. 81), но решим ее методом интегральных соотношений Т. И. Баренблат-та, согласно которому приближенное решение задачи представляется в виде многочлена. Далее считаем, что приближенное распределение удовлетворяет не исходному дифференциальному уравнению, а интегральным соотношениям, получаемым в результате умножения левой и правой частей уравнения на координату в степени п и их интегрирования. При использовании описываемого приближенного метода принимают, что всякое незначительное изменение температуры в случае теплопроводности или давления в случае упругого режима распространяется не мгновенно, а существует в ограниченной «возмущенной» области. Для рассматриваемой задачи интегральное соотношение имеет вид
/2 «) h (О
хт J x"-%?-dx= J x»^-dx, (I
ii (t) /i (О
где п — любое, обычно целое число, начиная с нуля. Положим в качестве первого приближения п = 0 и возьмем решение в виде
* 1
(Н.147>
90
Выполним граничные и начальное условия, которые при приближенном решении задачи имеют несколько иной вид, чем при точном решении, а именно
Г = Г0 при x = l(t)\ (I
Г = 7\ при х = 0. '
Должно также всегда выполняться условие /(0)=0. При решении задачи приближенным методом необходимо также дополнительно выполнять условие
-ЯГГ2— = 0- (11.149)
1*=/ (О
Соблюдая приведенные условия, получим л —Т т _ д т •
/10 - J I 1 о - iA I i , ,
Таким образом
(11.150)
Для определения /(7J подставим (11.150) в (11.146) при л = 0, считая /i(/)=0. В результате получим уравнение
6xTctf = Ш. Отсюда
т. е. задача решена.
Определим, как и в примере II.4, скорость уноса тепла при х = 0. Имеем
ё^Т1 1 \Т1
«=-ъ-?—=•*&-• (п-152)
х=0 V ОЛт'
Сравнивая приведенное приближенное выражение с точным (11.122), находим, что скорость уноса тепла, определенная
приближенным методом, будет больше точной в Уя/3 раз, т. е. всего примерно на 2%.
Численные методы
В расчетах разработки нефтяных месторождений чаще всего применяют конечно-разностные методы. При использовании этих методов дифференциальные уравнения, описывающие процессы разработки нефтяных месторождений, представляют в
91
Рис. 50. Схема разбиения области со сложной конфигурацией на конечно-разностные ячейки: / — контур области; 2 — ячейка А
сложной конфигурацией (рис двумерном случае уравнение
, Э»Р\_ др • ду* }~~дГ-
конечно-разностной форме. Конечно-разностные уравнения решают с помощью быстродействующих электронно-вычислительных машин. Удобные для использования точные решения задач разработки нефтяных месторождений практически обычно получают только для одномерных случаев (прямолинейное и радиальное течения). При необходимости же рассчитать процессы разработки пластов с учетом их сложной геометрической формы, получить точные и даже приближенные решения не удается. В таких случаях решить задачу можно, применяя _ численные методы. Например, необходимо рассчитать перераспределение давления в области со . 50) при упругом режиме. В этом упругого режима имеет вид
(11.153)
Область течения нефти в плоском пласте разбивается на множество ячеек с размерами Ах, Ау и h соответственно по осям х, у и 2. Рассмотрим ячейку А, которая при бесконечном дроблении (Ах—>-0, At/—»-0) превращается в точку А. Будем считать, что в этой ячейке давление равно р,/. При замене в уравнении (11.153) бесконечно малых приращений конечными выражения для производных преобразуются следующим образом .
др дх
AJC
V
(11.154)
ду* " Д(/ \
1 — Pij Pij—Pi,j-l
7
Подставляя (11.154) в уравнение (11.153), получим
1 I Pi+i,j — Pij &х
iJ+1 — Pij
Ьх
(11.155)
92
Здесь pki,,—давление в ячейке А в момент времени t; Pi,,k+l — давление в той же ячейке в момент времени t+At.
Граничные и начальные условия при решении задач численными методами также приводят к соответствующей конечно-разностной форме. Соотношение (11.155) представляет собой алгебраическое уравнение. Таким образом, при использовании конечно-разностных методов вместо дифференциальных решают алгебраические уравнения.
Аналоговые методы
_1
Рис. 51. Ячейка А:
1 — электрические ния
сопротивле-
Рассмотрим в несколько увели-
ченном виде ячейку А, взятую из рис. 50. В соответствии с электрогидродинамической аналогией (ЭГДА) фильтрационные сопротивления можно заменить электрическими, как это показано на рис. 51. Согласно закону Ома, для силы тока ix и iy в направленияхх х и у имеем выражения
Ш Дх
S_ At/ (Г Д{/~
(11.156)
где S — площадь поперечного сечения электрического проводника; р — удельное электрическое сопротивление; АС/ — приращение электрического напряжения.
Сравним выражения (11.156) с формулой закона Дарси, представленной в конечно-разностной форме. Имеем
k Др (j. Дх
7» -
У
Др
Г
Дг/
(11.157)
Выражения (11.156) и (11.157) совпадают, если давление жидкости заменить электрическим напряжением, скорости фильтрации — силой электрического тока, а k/ц — величиной S/p. Указанные взаимно заменяемые величины — аналоги друг друга. Так, сила тока — аналог скорости фильтрации, электрическое напряжение U — аналог давления, электрическая проводимость S/p — аналог фильтрационной проводимости.
В случае упругого режима аналогом сжимаемости пласта $ является электрическая емкость С. Следовательно, можно написать
Р = сС, (11.158)
где a, b и с — коэффициенты пропорциональности.
93
Подставляя (11.158) в уравнение упругого режима, получим
Процессы, описываемые уравнением (11.159), можно моделировать на специальных устройствах, называемых электроинтеграторами, подключая к каждой ячейке соответствующие электрические сопротивления и электрические емкости. По формулам (11.158) проводим пересчет электрических параметров, экспериментально определяемых на электроинтеграторах, на соответствующие фильтрационные параметры.
Контрольные вопросы
1. Расскажите о классификации моделей пластов.
2. Получите формулу, определяющую трещинную проницаемость трещиноватого пласта. Найдите связь между трещинной проницаемостью, густотой трещин и трещинной пористостью.
3. Объясните методику построения модели слоисто-неоднородного пласта по данным геолого-геофизических исследований.
4. Напишите и объясните формулы плотности и закона логарифмически нормального распределения абсолютной проницаемости.
5. Напишите и объясните формулы плотности и закона гамма-распределения абсолютной проницаемости.
6. Какие фундаментальные законы естествознания используют при моделировании процессов разработки нефтяных и газовых месторождений? В виде каких уравнений они выражаются?
7. Что называется коэффициентом распределения («константой равновесия») вещества в газовой и жидкой фазах?
8. Напишите формулу, выражающую зависимость пористости пород пласта от среднего нормального напряжения. В какой теории используют эту зависимость?
9. Расскажите о связи между вертикальной компонентой напряжения (вертикальным горным давлением), средним нормальным напряжением и пластовым давлением. В какой тео» рии используют эту связь?
10. Выведите формулу для распределения пластового давления в случае притока жидкости из однородного бесконечного пласта к точечному стоку. Покажите, какой вид приобретает формула при малых значениях г/Ух/. При каких расчетах используют эту формулу?
11. Выведите формулу для дебита скважины в элементе однорядной системы разработки методом эквивалентных фильтрационных сопротивлений.
